初中几何：菱形与正三角形
答五月同学
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【问题】菱形ABCD中∠BAD＝120°，点M在BC上，N在CD上，∠AMN＝60°。求证△AMN为等边三角形。
【证明一】【四点共圆法】据题意有α=β=60°，所以A、M、C、N四点共圆，于是有
∠1=∠3和∠2=∠4，
从而有
∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠MCN=180°-120°=60°，
所以△AMN是正三角形。
【证明二】还有更简单的方法：首先在CD上取N'，使CN'=BM。接着再通过【证明△AMN'是正三角形→∠AMN’=60°→N'与N是同一点】，只要用到三角形全等的基本概念就能达到目标。
①因为在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，所以必有AB=AC，及∠ACD＝60°.
②在△ABM和△ACN'中，具备了【S,A,S】的条件，则△ABM≌△ACN'。
③所以 AM=AN'，∠1=∠2，
④∠MAN'=∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAC=60°，所以 △AMN'是正三角形。
⑤于是∠AMN’=60°这就证明了 N'与N是同一点，也就证明了题意所求证之结论。
【注】：这种方法一般也称为【同一法】。